ASAL SAYILAR

ASAL SAYILAR

Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1′ den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2′ dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi, { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … } dir. Fermat Teoremi’ ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n – 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin, 22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, 211 – 1, … sayıları, asal sayıdır. Aralarında asal sayılar: 1′ den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür. Örneğin, • 2, 9 • 10, 81 • 5, 29 • 3, 8 • 2, 10, 35 sayı grupları, ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır. Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla, bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin, 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü, 10 sayısının 1 ve kendisinden başka, 2 ile 5 böleni vardır. Buradan, asal olmayan 10 sayısı, birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına, 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani, bileşik bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Örnek 1: Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır? a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25 Çözüm: a) 4 ile 20′ nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4′ tür. b) 6 ile 21′ in ortak böleni vardır ve bu da 3′ tür. c) 27, 36 ve 39′ un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3′ tür. d) 8, 24 ve 36′ nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4′ tür. e) 3, 5 ve 25′ in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayıyı birden bölen 1′ den başka sayı yoktur. Dolayısıyla, bu sayılar aralarında asaldır. Örnek 2: 2m + 3 ile 7n – 5 sayıları aralarında asal olduğuna göre, ise, m ve n kaçtır? Çözüm: 2m + 3 ile 7n – 5 aralarında asal olduklarına göre, 2m + 3 = 5 2m = 5 – 3 2m = 2 m = 1 7n – 5 = 9 7n = 9 + 5 7n = 14 n = 2 bulunur. Örnek 3: a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre, ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır? Çözüm: Toplamın en küçük olması için, sayıları en küçük almalıyız. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla, ab + bc = 21 + 13 = 34 olur. Örnek 4: 2x + y ile 4 x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre, ise, 3x + 2y toplamı kaçtır? Çözüm: 2x + y ile 4x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre, her ikisinin de ortak böleni olmaması gerektiğinden, eşitliğin sağ tarafı ortak bölenden arındırılmalıdır. Dolayısıyla, olur ve buradan, 2x + y = 7 … (1) 4x + y = 9 … (2) yazılır. Bu denklemleri ortak olarak çözelim. Bunun için, (1) nolu denklemi – 1 ile çarpalım ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalım. - 1 / 2x + y = 7 4x + y = 9 - 2x – y = – 7 4x + y = 9 Son iki denklemin toplamı 2x = 2 x = 1 bulunur ve x = 1 değerini (1) nolu denklemde yerine koyalım 2.1 + y = 7 y = 7 – 2 y = 5 bulunur. Buradan 3x + 2y = 3.1 + 2.5 = 3 +10 = 13 olur. SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI Her bileşik sayı, asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu işlemi yapmak için, ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır. Örnek 1: 124 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Çözüm: 120 = 23 . 31. 51 Örnek 2: 500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Çözüm: 500 = 22 . 53 BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı: Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı, ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 ) dir. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı: Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, 2 . ( m + 1 ) . ( n + 1 ) . ( p + 1 ) dir. Yani, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı: Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı, dir. Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır. Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı: Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere, A = am . bn . cp şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı, dir. Üssün, A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz. Örnek 1: 120 sayısının a) Kaç tane pozitif böleni vardır? b) Kaç tane tamsayı böleni vardır? c) Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır? d) Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm: a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli 120 = 23 . 31. 51 olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı ( 3 + 1) . ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) = 4 . 2 . 2 = 16 dır. b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre, 2 . 16 = 32 dir. c) 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı dir. d) 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı dir. Örnek 2: 500 . 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa, y kaçtır? Çözüm: 500 . 5y = 22 . 53 . 5y = 22 . 53 + y 2 tane asal böleni olduğundan, tüm bölenlerinin sayısı, 40 + 2 = 42 dir. Buradan, pozitif bölenlerinin sayısı, tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan, 21 = ( 2 + 1 ) . ( 3 + x + 1 ) 21 = 3 . ( 4 + x ) 21 = 12 + 3x 3x = 21 – 12 3x = 9 x = 3 olur. OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ) OBEB, iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır. Verilen sayıların OBEB’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır. 1. Aralarında asal iki sayının OBEB’ i 1′ dir. Yani, a ile b aralarında asal iki sayı ise, (a, b)OBEB = 1 dir. 2. Aynı zamanda, ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB’ i 1′ dir. Yani, a, b, c, d, e sayılarından a ile b aralarında asal ise, (a, b, c, d, e)OBEB = 1 dir. 3. İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı, OBEB’ inin bölenlerinin sayısına eşittir. 4. Ardışık iki sayma sayısının OBEB’ i 1′ dir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere, (a , b)OKEK = 1 dir. Örnek 1: 18, 30, 42 sayılarının OBEB’ i kaçtır? Çözüm: 1. Yol: 18, 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla, (18, 30, 42)OBEB = 2 . 3 = 6 dır. 2. Yol: 18 = 2.32 30 = 2.3.5 42 = 2.3.7 Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla, (18, 30, 42)OBEB = 2.3 = 6 dır. Örnek 2: 100 ile 120 sayılarının OBEB’ i kaçtır? Çözüm: 1. Yol: 100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir. Dolayısıyla, (100, 120)OBEB = 22 . 5 = 4 . 5 = 20 dir. 2. Yol: 100 = 22.52 120 = 23.3.5 Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır. Dolayısıyla, (100, 120)OBEB = 22.5 = 20 dir. Örnek 3: 6, 15 ve 29 sayılarının OBEB’ i kaçtır? Çözüm: İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB’ i 1 olduğundan, verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için (6, 15, 29)OBEB = 1 dir. Örnek 4: 100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır? Çözüm: (100, 120)OBEB = 22.51 = 20 olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı, ( 2 + 1) . ( 1 + 1 ) = 3 . 2 = 6 bulunur. Buradan, tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan, 2 . 6 = 12 olur. Örnek 5: Boyutları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir? Çözüm: Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 9 cm, 12 cm, 15 cm sayılarının OBEB’ i bulunmalıdır. Bu nedenle, (9, 12, 15)OBEB = 3 tür. Böylece, en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur. Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı, Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 9.12.15/3.3.3 = 3.4.5 = 60 tane olur. Örnek 6: Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir? Çözüm: İki ağacın arasındaki uzaklık, dikdörtgenin boyutlarının OBEB’ i olur. Dolayısıyla, (24, 60)OBEB = 12 Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 . (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14 dir. OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ) İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır. Verilen iki veya daha çok sayının OKEK’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır. 1. Aralarında asal sayıların OKEK’ i, bu sayıların çarpımlarına eşittir. Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise, (a, b)OKEK = a . b dir. 2. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB’ i ile OKEK’ inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir. Yani, a ve b doğal sayısı için a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB dir. 3. a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere, (a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir. 4. a ve b iki doğal sayı olmak üzere, (a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri x + y dir. 5. Ardışık iki sayma sayısının OKEK’ i bu iki sayının çarpımına eşittir. Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere, (a, b)OKEK = a . b dir. 6. a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise, (a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir. Örnek 1: 18 ile 45 sayılarının OKEK’ ini bulunuz. Çözüm: 1. Yol: 18 = 2 . 32 45 = 32 . 5 olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 . 2 . 5 = 90 olur. 2. Yol: (18, 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır. Örnek 2: a ve b doğal sayılarının OKEK’ i 48 ve OBEB’ i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır? Çözüm: a = 16 olsun. (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8 olduğuna göre, a . b = (a, b)OKEK . (a, b)OBEB 16 . b = 48 . 8 b = 24 bulunur. Örnek 3: Herhangi iki doğal sayının OKEK’ i 120 ve OBEB’ i 8 olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir? Çözüm: İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB’ ile OKEK’ inin toplamı kadar olabileceğinden, 120 + 8 = 128 dir. Örnek 4: Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir. Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir? Çözüm: Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK’ i bulunmalıdır. Bu nedenle, (2, 4, 6)OKEK = 12 tür. Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur. Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı, Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 12.12.12/2.4.6 = 6.3.2 = 36 tane olur. Örnek 5: a, b, c asal sayılar olmak üzere, x = a2 . b3 . c5 ve y = a5 . c2 ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz. Çözüm: (x, y)OBEB = a2 . c2 = (a . c)2 (x, y)OKEK = a5 . b3 . c5 olur. Örnek 6: Ayşe toplarını 2′ şer 2′ şer, 4′ er 4′ er, 6′ şar 6′ şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor. Ayşe’ nin en az kaç topu vardır? Çözüm: Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür. Örnek 7: 2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır? Çözüm: [(2, 3, 4)OKEK] . k + 1 <= 99 24 . k + 1 <= 99 k = 4 olur. Buradan, sayı 24 . 4 + 1 = 96 + 1 = 97 bulunur. Örnek 8: İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler. Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 04.00′ de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler? Çözüm: Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK’ lerinde aynı anda alarm verirler. Dolayısıyla, (5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat sonra tekrar alarm verirler. O halde, Cumartesi günü saat 15.00′ de tekrar alarm vereceklerdir. Örnek 9: Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır? Çözüm: 5/3 ile 6′ nın OKEK’ ini bulmalıyız. Bu takdirde, (5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur. Örnek 10: OKEK’ i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur? Çözüm: (a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre, a = 7 ve b = 7 alınabilir. Bu durumda, a ile b’ nin toplamının en büyük değeri a + b = 7 + 7 = 14 … (1) olur. Diğer taraftan, a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b’ nin toplamının en küçük değeri a + b = 1 +7 = 8 … (2) olur. Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı 14 . 8 = 112 bulunur.

BASİT EŞİTSİZLİKLER

BASİT EŞİTSİZLİKLER

A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık
i) (a, b) veya a < x < b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.
ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.

[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.

a < b
a + c < b + c
a – d < b – d dir.

2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,
ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denkle-min çözüm kümesidir.
Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.
a, b, c Î IR olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î IR2 için sağlanıyorsa

a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Çözüm Kümesinin Bulunması
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.
Biz burada üçünü vereceğiz.
a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.
Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.
b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir.
Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.
c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).
Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.
Ü ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sistemini göz önüne alalım:
Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.
Birinci durum:
ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.
İkinci durum:
ise, bu iki doğru çakışıktır.
Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.
Üçüncü durum:
ise, bu iki doğru paraleldir.
Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.