ASAL SAYILAR
| ASAL SAYILAR |
| Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1′ den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2′ dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır. Asal sayılar kümesi, { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … } dir. Fermat Teoremi’ ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n – 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır. Örneğin, 22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, 211 – 1, … sayıları, asal sayıdır. Aralarında asal sayılar: 1′ den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir. Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez. Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır. Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır. Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir. Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür. Örneğin, • 2, 9 • 10, 81 • 5, 29 • 3, 8 • 2, 10, 35 sayı grupları, ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır. Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir. Dolayısıyla, bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır. Örneğin, 10 sayısı bir bileşik sayıdır. Çünkü, 10 sayısının 1 ve kendisinden başka, 2 ile 5 böleni vardır. Buradan, asal olmayan 10 sayısı, birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir. 2 ile 5 sayısına, 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir. Yani, bileşik bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Örnek 1: Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır? a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25 Çözüm: a) 4 ile 20′ nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4′ tür. b) 6 ile 21′ in ortak böleni vardır ve bu da 3′ tür. c) 27, 36 ve 39′ un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3′ tür. d) 8, 24 ve 36′ nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4′ tür. e) 3, 5 ve 25′ in ortak böleni yoktur. Çünkü, bu üç sayıyı birden bölen 1′ den başka sayı yoktur. Dolayısıyla, bu sayılar aralarında asaldır. Örnek 2: 2m + 3 ile 7n – 5 sayıları aralarında asal olduğuna göre, ise, m ve n kaçtır? Çözüm: 7n – 5 = 9 Örnek 3: a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır. Buna göre, ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır? Çözüm: Toplamın en küçük olması için, sayıları en küçük almalıyız. Buna göre, ab = 21 olurken. bc = 13 olmalıdır. Dolayısıyla, ab + bc = 21 + 13 = 34 olur. Örnek 4: 2x + y ile 4 x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre, ise, 3x + 2y toplamı kaçtır? olur ve buradan, 120 = 23 . 31. 51 500 = 22 . 53 dir. Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir. Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır. dir. Üssün, A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz. dir. dir.
18, 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür. Dolayısıyla, 100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir. Dolayısıyla, (18, 45)OKEK = 2 . 32 . 5 = 90 dır. |
Add comment Eylül 12, 2008
BASİT EŞİTSİZLİKLER
BASİT EŞİTSİZLİKLER
A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI
1. Kapalı Aralık
a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık
[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık
i)
(a, b) veya a < x < b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.
ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.
[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.
B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.
a + c < b + c
a – d < b – d dir.
2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.


Add comment Eylül 12, 2008
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
A. TANIM
a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.
B. EŞİTLİĞİN ÖZELLİKLERİ

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ
a, b, c Î IR, a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,
ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denkle-min çözüm kümesidir.
Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.
a, b, c Î IR olmak üzere,
denklemi her (x, y) Î IR2 için sağlanıyorsa
Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
Çözüm Kümesinin Bulunması
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.
Biz burada üçünü vereceğiz.
a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.
Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.
b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklem-de yerine yazılarak sonuca gidilir.
Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.
c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin iki-sinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).
Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.
Ü ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sistemini göz önüne alalım:
Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.
Birinci durum:
ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.
İkinci durum:
ise, bu iki doğru çakışıktır.
Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.
Üçüncü durum:
ise, bu iki doğru paraleldir.
Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.
Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.
2 comments Eylül 12, 2008