RASYONEL SAYILAR

A. TANIM

a ve b tam sayı, b ¹ 0 olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayılara rasyonel sayı veya kesir denir.

B. KESİR ÇEŞİTLERİ

1. Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

2. Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

3. Tam Sayılı Kesir

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

birer tam sayılı kesirdir.

Her bileşik kesir bir tam sayılı kesir biçiminde yazılabilir.

C. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER

1. Genişletme ve Sadeleştirme

k ¹ 0 olmak üzere,

2. Toplama – Çıkarma

Toplama ve çıkarma işleminde payda eşitlenecek biçimde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır (ya da çıkarılır) ortak payda alınır.

3. Çarpma – Bölme

4. İşlem Önceliği

Toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu rasyonel sayılarda işlemler, aşağıdaki sıraya göre yapılır.

1) Parantezler ve kesir çizgisi işleme yön verir.

2) Üslü işlemler varsa sonuçlandırılır.

3) Çarpma – bölme yapılır.

4) Toplama – çıkarma yapılır.

D. ONDALIK KESİR

1. Ondalık Kesir

Bir rasyonel sayının payını paydasına böldüğümüzde bu rasyonel sayının ondalık açılımını buluruz. Bu ondalık açılıma ondalık kesir denir.

Burada a ya tam kısım, bcd ye de ondalıklı kısım denir.

2. Devirli (Periyodik) Ondalık Kesir

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.

Devreden kısım üzerine (—) işareti konulur.

3. Ondalık Sayılarda İşlemler

a. Toplama – Çıkarma:  Ondalık kesirler toplanırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır ve doğal sayılarda toplama – çıkarma işleminde olduğu gibi toplama – çıkarma işlemi yapılır. Sonuç, virgüllerin hizasından virgülle ayrılır.

b. Çarpma: Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken, virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.

c. Bölme: Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken, bölen virgülden kurtulacak biçimde 10 un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10 un kuvveti ile çarpılarak normal bölme işlemi yapılır.

4. Devirli Ondalıklı Sayının Rasyonel  Sayıya Dönüştürülmesi

E. RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA

Pozitif kesirlerde sıralama yapılırken aşağıdaki yollardan biri kullanılır.

I. Yol:

Paydaları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

II. Yol:

Payları eşit olan (eşitlenen) kesirlerden paydası en küçük olan diğerlerinden daha büyüktür.

III. Yol:

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, basit kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha büyüktür.

Payı ile paydası arasındaki farkı eşit olan, bileşik kesirlerde, payı en büyük olan diğerlerinden daha küçüktür.

Yukarıda verilen yöntemler pozitif kesirlerde geçerlidir. Negatif kesirlerde ise durum tersinedir.

F. İKİ RASYONEL SAYI ARASINDAKİ SAYILAR

arasında sayılamıyacak çoklukta rasyonel sayı vardır.

Bunlardan bazılarını bulmak için b ile d nin OKEK i bulunur. Verilen kesirlerin paydaları bulunan OKEK inde eşitlenir. İstenen koşuldaki sayıyı bulmak için kesirler genişletilebilir.

Ü kesirlerinin ortasındaki bir sayı ise,

OBEB – OKEK

A. ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ

(OBEB)

En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü denir ve OBEB biçiminde gösterilir.

OBEB bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan büyük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OBEB ini verir.

•  Eğer a ¹ 0 veya b ¹ 0 ise OBEB tanımlı olup OBEB(a, b) ³ 1 dir.

•  a = b = 0 ise OBEB (a, b) tanımsızdır.

B. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ

(OKEK)

Hepsi sıfırdan farklı iki ya da daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların ortak katlarının en küçüğü denir ve OKEK biçiminde gösterilir.

OKEK bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan küçük olmayan üslülerin çarpımı bu sayıların OKEK ini verir.

•  a ve b tam sayılarından en az biri sıfır ise,

OKEK(a, b) tanımsızdır.

Ü kesirleri ile tam bölünebilen en küçük pozitif kesir

Ü a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,

Ü İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına eşittir. Fakat ikiden fazla pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların OBEB i ile OKEK inin çarpımına her zaman eşit değildir.

Ü A pozitif tam sayısı a . b ile tam bölünebiliyor ve OKEK(a, b) = x ise, A sayısı x ile tam bölünür.

SAYI SİSTEMLERİ

A. SAYI BASAMAĞI

Bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birine bu sayının basamağı denir.

Bir doğal sayıda kaç tane rakam varsa sayı o kadar basamaklıdır. 243 üç basamaklı bir sayıdır.

B. ÇÖZÜMLEME

Doğal sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yerdeki değerine basamak değeri denir.

Basamak değerlerinin toplamına o sayının çözümlenmiş biçimi denir. Üç basamaklı abc sayısı aşağıda çözümlenmiştir.

• ab = 10 . a + b

• abc = 100 . a + 10 . b + c

• aaa = 111 . a

• ab + ba = 11 . (a + b)

• ab – ba = 9 . (a – b)

• abc – cba = 99 . (a – c)

C. TABAN

Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

T taban olmak üzere,

(abcd)_T = a . T³ + b . T² + c . T + d dir.

Burada,

• T, 1 den büyük doğal sayıdır.

• a, b, c, d rakamları T den küçüktür.

• Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.

• (abc, de)_T = a . T ² + b . T + c . T⁰ + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2}

= a . T ² + b . T + c  + d . T ^{– 1} + e . T ^{– 2} dir.

1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.

TEMEL KAVRAMLAR

A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.

Üç basamaklı abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar

={0, 1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

3. Pozitif Doğal Sayılar

= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

4. Tam Sayılar

= {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi: , pozitif tam sayılar kümesi: ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre,

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

biçiminde gösterilir.

6. İrrasyonel Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir.

biçiminde yazılamayan sayılar: a, b Î ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.

sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7. Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

biçiminde gösterilir.

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar

kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , – 2n , … , – 4, – 2, 0, 2, 4, … , 2n , …}

biçiminde gösterilir.

2. Tek Sayı

olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , – (2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} biçiminde gösterilir.

T : Tek sayı

Ç : Çift sayıyı göstersin.

• Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.

• Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.

• Sıfır (0) çift sayıdır.

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere,

•   a, b birer negatif sayıdır.

•   c, d birer pozitif sayıdır.

•   İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)

•   İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)

•   Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.

•   Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.

•   Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.

•   Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.

•   Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.

•   Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

•   Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

•  En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.

•  Asal sayıların çarpımı asal değildir.

5. Aralarında Asal

Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

D. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

Ü n bir tam sayı olmak üzere,

•   Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

•   Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

•   Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

•   Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Ardışık Sayıların Toplamı

n  bir sayma sayısı olmak üzere,

•  Ardışık sayma sayılarının toplamı

•   Ardışık çift doğal sayıların toplamı

2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

•   Ardışık tek doğal sayıların toplamı

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

•   Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

r : İlk terim

n : Son terim

x : Artış miktarı olmak üzere,