Kümeler

KÜMELER

TANIM

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

2. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

3. Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile

gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak

gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise

biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

{.} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

{} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

E. ALT KÜME – ÖZALT KÜME

1. Alt Küme

2. Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özellikleri

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

1. Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir

2. Birleşim Işleminin Özellikleri

4. Kesişim Işleminin Özellikleri

G. EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A’ ile gösterilir.

I. KUVVET KÜMESI

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

J. İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

Farkla Ilgili Özellikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

Cemal Amca’nın Zarları

Cemal Amca’nın Zarları

Başkomiserlikten emekli alt kat komşumuz Cemal Amca tavlaya çok düşkündü. Emekli olmazdan önce haftasonlarını bahçede tavla oynayarak geçirirdi. Hafta içindeyse haftasonunu iple çekmeye karakoluna giderdi. Emekli olduğunda, haftanın yedi günü, sabahtan geceyarılarına, hiç durmamacasına tavla oynamaya başladı.

Melek gibi de bir karısı vardı Cemal Amca’nın. Şadiye Hanım, daha doğrusu Şadiy’anım… Pilot olan büyük oğlu bir uçak kazasında ölünce, Şadiy’anım evine kapandı, o günden sonra evden dışarı adımını atmadı. Acısı öylesine büyüktü. Bütün gün evinde oturur, terzilik yapıp evin geçimine katkıda bulunurdu.

Önce Şadiy’anım öldü, arkasından Cemal Amca. Toprakları bol olsun. Cemal Amca’nın polislerine dövdürdüğü bir iki hırsız dışında, kimseye zararları dokunmamıştı.

Cemal Amca, tavla oynayacak kimse bulamadığında tek başına oynardı. Bir gün Cemal Amca’yı yine böyle tek başına bahçede tavla oynarken görmüştüm. Güleceğini sanarak,

– Kim kazanıyor Cemal Amca? diye sormuştum.

Gülmemişti. Başını tavladan kaldırmadan, son derece ciddi,

– Ben! demişti.

Cemal Amca’nın yanıtı aklıma geldikçe hâlâ daha gülerim.

Bir gün, Cemal Amca’nın hep tavla oynamadığını keşfettim. (Çok önemli bir keşifti bu.) O gün Cemal Amca, elinde kalem kâğıt, bahçedeki geleneksel yerine kurulmuş zar atıyordu ve gelen zarları kâğıdına not ediyordu. Merakla yanına yaklaşıp,

– Ne oynuyorsun Cemal Amca? diye sordum.

– Zar atmaca oynuyorum, dedi.

Zar attığını görüyordum ama neden zar attığını anlayamıyordum. Bilmediğim bir oyun mu oynuyordu acaba? Sessizliğimden Cemal Amca da şaşkınlığımı anladı. Kafasını tavladan kaldırmadan (çünkü Cemal Amca kafasını hiç tavladan kaldırmazdı), yakın gözlüklerinin üstünden aşırttığı bakışlarıyla gözlerimin içine içine bakarak,

– Oğlum, dedi, zar vardır şeşi boldur, zar vardır yeki yoktur. Kimi zarın ceharı kıttır, kiminin penci… Kemiğe söve söve durmadan gele atarsın… Oysa kemik ne yapsın, herbirinin kendine özgü bir kişiliği, bir yaşantısı vardır. Nasıl usta bir udi çaldığı utun huyunu suyunu bilmeliyse, tavlacıyım diyen de tavlasının zarlarını yakından tanımalı…

Bu sözlerin güzel sözler olduğunu kavramıştım ama derinliğine tam girememiştim. Çocukluk işte! Cemal Amca’nın zarlarını denediğini o yaşta nasıl bilebilirdim ki? Kısa bir sessizlikten daha sonra Cemal Amca,

– Zarlarımı deniyorum, diye sürdürdü, bakalım hangi zar daha çok geliyor diye…

Bir iki dakika Cemal Amca’yı izledim sessizce. Her zar atışını kâğıdına not ediyordu. Birden,

– Biraz da sen at bakalım, dedi.

Aldım zarı elime. Zar öylesine aşınmıştı ki, nerdeyse yusyuvarlaktı. Ve sanki yosun tutmuş gibi kaygandı. Altı kez attım. Attığım altı zarın beşi şeş (yani 6) geldi. Cemal Amca,

– Dur bakalım, dedi, biraz fazla şeş atmaya başladın. İstatistiklerimi atüst ettin…

Kalem kâğıdı yeniden eline alıp hesaplamaya başladı. Biraz sonra,

– Ohooo, dedi, şeşlerin ortalamasını yüzde 18,2’den yüzde 21,0’a çıkardın.

Bu sözleri söylemesiyle Şadiy’anımın Cemal Amca’yı yemeğe çağırması bir oldu. Cemal Amca bir çırpıda kâğıtlarını toplayıp evine koştu. Ama en son kullandığı kâğıt masanın üstünde kalmıştı. Ya unutmuştu ya da benim attığım zarları dikkate almamaya karar verip özellikle bırakmıştı. O kâğıdı katlayıp cebime koydum.

Yıllar sonra, nerdeyse çeyrek yüzyıl sonra, tavan arasında bulduğum tozlanmış, küflenmiş, fare kemirikli bir valizimi karıştırırken o kâğıdı buldum. Üstünde %18,2 ve %21,0 yazıyordu.

Cemal Amca’nın not ettiği %18,2 ve %21,0 sayılarından, Cemal Amca’nın benden önce kaç zar attığını ve bu zarların kaçının şeş olduğunu bulabilecek misiniz[1]?

Tek yanıtlı sorulara alışmış okurları üzeceğim; ne yazık ki bu sorunun yanıtını kesin olarak bulamayız.

Cemal Amca 132 zar atmış ve bu zarların 24’ü şeş gelmiş olabilir.

Cemal Amca 137 zar atmış ve bu zarların 25’i şeş gelmiş olabilir.

Cemal Amca ben gelmeden ya 132 ya da 137 zar atmıştır. Eğer 132 zar atmışsa bunlardan 24’ü şeş gelmiştir. Eğer 137 zar atmışsa bunlardan 25’i şeş gelmiştir.

Yukardaki doğru yanıtları bulmadan önce yanlış yanıtı bulalım.

Cemal Amca’nın benden önce attığı zar sayısına x, şeş sayısına da y diyelim. x ve y sayılarını bulmaya çalışacağız. Cemal Amca’nın dediklerini matematikçeye çevirelim. Cemal Amca’nın dediğine göre, ben zar atmadan önce şeşlerin yüzdesi 18,2’ymiş. Demek ki

= 0,182. (1)

Gene Cemal Amca’nın dediğine göre, ben zar attıktan sonra şeşlerin yüzdesi 21,0’a yükselmiş. Altı zar attığımdan ve bunların beşi şeş geldiğinden, Cemal Amca’nın verdiği bu bilgiden,

= 0,210 (2)

eşitliği çıkar.

(1) ve (2) eşitliklerini biliyoruz ve x ve y’yi bulmaya çalışıyoruz.

Oldukça kolay bir problem… Çünkü (1) ve (2) denklemleri, iki bilinmeyenli iki doğrusal (lineer) denklem. Çözmek zor olmasa gerek.

(1) denkleminden

y = 0,182 x

çıkar. (2)’de y yerine 0,182x koyarsak, elde ettiğimiz yeni denklemde y kalmaz ve basit bir hesapla x’i buluruz:

x = 133,5714286…

Demek ki Cemal Amca 133,5714286… kez zar atmış! Yani virgüllü bir sayı kez… Olacak iş değil! Bir yerde bir yanlış olmalı.

Acaba Cemal Amca bize yanlış bilgi mi verdi?

Bir bakıma evet, bir bakıma hayır. Belli ki Cemal Amca bize yüzdeleri verirken sayılarını en yakın ondalığa yuvarlamış. Örneğin, şeşlerin gerçek yüzdesi, ben zar atmadan önce 18,1818… ve ben zar attıktan sonra 21,0144927… olabilirdi. Haklı olarak gereksiz ince hesaplara girmek istemeyen Cemal Amca, bu sayıları 18,2’ye ve 21,0’a yuvarlamış olabilir. Olabilir değil, öyle olmalı!

Demek ki Cemal Amca’nın bize verdiği sayılar aşağı yukarı sayılar. Cemal Amca’nın bize verdiği bilgi aslında şöyle:

0,1815 ≤ ≤ 0,1825 (3)

ve

0,2095 ≤ ≤ 0,2105. (4)

Bu eşitsizliklerden x ve y’yi bulmalıyız.

Hesaplara başlayalım. (3) eşitsizliğindeki sayıların terslerini alırsak,

≤ ≤

buluruz. Bundan da,

≤ x ≤

yani ,

≤ x (4.1)

ve

x ≤ (4.2)

eşitsizlikleri çıkar.

Öte yandan (4)’teki paydaları temizleyip gereken basit aritmetiği yapacak olursak

0,2095x – 3,743 ≤ y ≤ 0,2105x – 3,737

eşitsizliklerini buluruz. Soldaki x yerine (4.1)’i, sağdaki x yerine (4.2)’yi koyalım:

– 3,743 ≤ y ≤ – 3,737 (5)

eşitsizliklerini, yani

– 3,743 ≤ y ve y ≤ – 3,737

eşitsizliklerini elde ederiz. Bunlar da sırasıyla

23,38 ≤ y ve y ≤ 25,30

eşitsizliklerini verir. Demek ki, y, 23,38’le 25,30 arasında bir tamsayı. Dolayısıyla y ya 24’tür ya 25.

Önce y’nin 24 olduğunu varsayalım. Eğer (5)’te y = 24 alırsak,

131,5 ≤ x ≤ 132,23

buluruz, ki x bir tamsayı olduğundan, x’in 132 olduğu anlaşılır. Demek ki y = 24 olduğunda x = 132 olmalı.

Şimdi de y’nin 25 olduğunu varsayalım. Eğer (5)’te y = 25 alırsak,

136,98 ≤ x ≤ 137,74

buluruz. Ama x bir tamsayı, dolayısıyla x = 137 olmalı.

Bulduğumuz sonuçların verilerle ne derece uyuştuğuna bakalım:

x	y
132	24	0,1818181…	0,210144927…
137	25	0,1824817…	0,209790209…

Bu sayıları en yakın bindeliğe yuvarlayacak olursak, 0,182 ve 0,210 buluruz ki, bu sayılar da Cemal Amca’nın bize verdiği sayılardı.

KÜLTÜR OLARAK MATEMATİK

Dünyada birçok insan matematikle olan dargın ilişkisinden şikayet eder. Birçoğumuz bunu bir eksiklik olarak ifade etmekten hiç çekinmez . Aksine, matematikteki eksikliğini neredeyse övünerek dile getirir. Matematiği gözümüzde öylesine büyütmüşüz ki, böyle bir `ihtişam` karşısında yetersiz kalmak bir özellik olarak algılanıyor. Otoriteye biat etmek sahnesi… Matematiği yalnızca bir araç olarak gören ve toplumsal devinimden bağımsız algılayan bir paradigmada, matematiğin ideolojik boyutunu da gündeme taşımış oluyoruz böylece.

Her bilgi dalı gibi matematik de bir kültür olarak yaşamını sürdürür. Son zamanlarda yapılan kazılarda 30000-40000 yıl öncesine varan bulgulara rastlanmaktadır. Çeşitli kemikler ve taşlar üzerindeki işaretlerden daha o zamanlar insanların yaşamlarını ölçüp biçtiğini, hesap kitap yaptığını öğreniyoruz.

Gereksinmelerin giderilmesi, yaşamın örgütlenmesi için üzerinde yaşanan topraklar ölçülmüş, bölümlen-miş, hayvanlar sayılmış, gruplara ayrılmıştır. Evreni anlamak yolunda uzay tasavvur edilmiş, evrende görülenler benzetilerek geometrik şekil ve cisimlere vardırılmıştır. Giderek sayı dizgeleri farklılaşmış, çeşitli tabanda sayı sistemleri ortaya çıkmıştır. Bir taraftan insanların merak duyguları, yaratıcı yetileri, diğer yandan ihtiyaçların itici gücü ile matematik yaşamın kaçınılmaz bir parçası olmuştur. Doğa bilimleri büyük bir hızla evrilirken matematiği tetiklemiş, matematik de fiziksel araştırmaların motor gücü olmuştur.

Bu sürece sayısız örnek katmak olasıdır. Ancak temel sorun, böylesine insana has bir özelliğin, birçok kişinin başına nasıl dert olup çıktığıdır. Descar-tes `tan başlayan çözümleyici bakış açısı, Newton ve Leibniz ile doğanın devinimini anlamlandırma gayretlerinde doruğa ulaşmıştı. Matematik o güne kadar fizikle bu denli iç içe olmamıştı. Sonlu küçük matematikle fiziksel olguların değişim süreçlerine el atılmış, doğal süreçlerin modellenmesi ile mekanik biliminin temelleri atılmıştı. Bunun anlamı şuydu: Doğa olayları artık tasarlanabilir ve benzetilebilirdi. Böylece, matematik belirli bir dizge çerçevesinde düzenlenmeye başladı. Gelişen sanayi ölçütlerine göre insan yetiştirebilecek okullar ortaya çıkmaya başladı. Bu okullar, günün koşullarına ve gereksinmelerine göre içerik kazandı. Geometri cebirselleşti. Matematiği daha rahat kullanmanın ve buna göre bir öğretim çatısını kurmanın yoğun uğraşı gündeme geldi. Matematiğin bu yeni sistematik yapısı yeni kuşaklara aktarıldı.

Kültürel bir olgu olan matematik bu süreçte doğa bilimlerinin evriminde o denli etkili oldu ki, `bilimlerin kralı/kraliçesi ` önermesiyle taçlandırıldı. Matematik bir `zeka ölçütü` olarak öne çıktı. Matematik bir otorite olarak örgütlenince, insan türünün çokluk, uzam , renk gibi doğal zihinsel yetileri şeyleşti. Yalın bir doğallık olan parmakla hesap yapmak gibi edimler aşağılandı. İnsanlar baş tacı edilen bu `matematik anlayışı` süzgecinden geçirilerek sınıflandırıldılar. Herkesin kendine özgü matematiksel nitelikleri , kabul gören ölçütlere karşı yenik düştü. Matematiğe yabancılaşıldı. Böylece, matematik kaygısı toplumsal bir nitelik kazandı.
Matematik , bir kültür olarak insani bir üründür, bir eserdir. Tarihsel devinimde bir evrim yaşamıştır ve yaşamaktadır. Hüküm süren kapitalist/tek-nolojist paradigma pozitivist ideoloji kapsamında matematiği tarihsiz kılar. Matematiğin evrenselliğine ilişkin inancı önemli ölçüde pekiştirir. Araçsal-laştırır. Böylece matematik üzerinden bir iktidar kurar. Matematik bir otorite olarak seçkinci bir çizgi izler. Matematik , modern bilimin anahtar girdisidir ve teknolojinin kaçınılmaz bir hammaddesidir. Buna göre, çokluk, uzam , renk, değişim, biçim gibi boyutlar insan zihninin doğal nitelikleriyken şeyleşir, metalaşır ve insana yabancılaşır… Bunun bir uzantısı olan matematik kaygısını incelemeyi sürdüreceğiz.

BENO KURYEL (Ege Ü . Müh. F. bkuryel@ttnet .net .tr)