TEMEL KAVRAMLAR

TEMEL KAVRAMLAR

A. SAYI

1. Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

2. Sayı

Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.

Üç basamaklı abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.

Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam olmayabilir.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar

={0, 1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

3. Pozitif Doğal Sayılar

= {1, 2, 3, 4, … , n , …} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.

Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.

4. Tam Sayılar

= {… , – n , … – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, … , n , …} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.

Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi: , pozitif tam sayılar kümesi: ve sıfırı eleman kabul eden: {0} kümenin birleşim kümesidir.

Buna göre,

5. Rasyonal Sayılar

a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.

biçiminde gösterilir.

6. İrrasyonel Sayılar

Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir.

biçiminde yazılamayan sayılar: a, b Î ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.

Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.

sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7. Reel (Gerçel) Sayılar

Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.

biçiminde gösterilir.

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar

kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı

olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.

Ç = {… , – 2n , … , – 4, – 2, 0, 2, 4, … , 2n , …}

biçiminde gösterilir.

2. Tek Sayı

olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.

T = {… , – (2n + 1), … , –3, –1, 1, 3, … , (2n + 1), …} biçiminde gösterilir.

T : Tek sayı

Ç : Çift sayıyı göstersin.

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.

• Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.

• Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.

• Sıfır (0) çift sayıdır.

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar

Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.

Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere,

•   a, b birer negatif sayıdır.

•   c, d birer pozitif sayıdır.

•   İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)

•   İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)

•   Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.

m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.

•   Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.

•   Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.

•   Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.

•   Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.

•   Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

•   Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

4. Asal Sayı

Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.

•  En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.

•  Asal sayıların çarpımı asal değildir.

5. Aralarında Asal

Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.

a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

D. ARDIŞIK SAYILAR

Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.

Ü n bir tam sayı olmak üzere,

•   Ardışık dört tam sayı sırasıyla;

n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.

•   Ardışık dört çift sayı sırasıyla;

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.

•   Ardışık dört tek sayı sırasıyla;

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.

•   Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;

3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.

Ardışık Sayıların Toplamı

n  bir sayma sayısı olmak üzere,

•  Ardışık sayma sayılarının toplamı

•   Ardışık çift doğal sayıların toplamı

2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)

•   Ardışık tek doğal sayıların toplamı

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

•   Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı

r : İlk terim

n : Son terim

x : Artış miktarı olmak üzere,

Denklem Çözme

DENKLEM ÇÖZME

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

1)  a = b ise, a ± c = b ± c dir.

2) a = b ise, a . c = b . c dir.

3) a = b ise,

4) a = b ise, aⁿ = bⁿ dir.

5) a = b ise,

6) (a = b ve b = c) ise, a = c dir.

7) (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d

(a = b ve c = d) ise, a . c = b . d dir.

9) (a = b ve c = d) ise,

10) a . b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

11) a . b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

12) = 0 ise, (a = 0 ve b ¹ 0) dır.

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

1) a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 ise,

2) (a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi dir.

3) (a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

a, b, c Î olmak üzere, ax + by + c = 0 denklemi her (x, y) Î için sağlanıyorsa a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

Biz burada üçünü vereceğiz.

a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık sağlar.

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.

c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

Ü ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini göz önüne alalım:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

Birinci durum:

ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

İkinci durum:

ise, bu iki doğru çakışıktır.

Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

Üçüncü durum:

ise, bu iki doğru paraleldir.

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.